เกร็ดความรู้ทางคณิตศาสตร์

โดยนักศึกษาเอกคณิตศาสตร์สถาบันราชัฏพระนคร
ที่ปรึกษากิจกรรม:ผ.ศ.ดร.สมวงษ์ แปลงประสพโชค

ทำไม…การหารจึงใช้เครื่องหมาย  ÷

       สัญลักษณ์ ÷ ได้ถูกนำมาใช้โดย จอห์น  วอลลิส  ( John Wallis 1616 – 1703 )ในประเทศอังกฤษและสหรัฐ
อเมริกา แต่ไม่แพร่หลายในทวีปยุโรป เพราะใช้เครื่องหมายโครอน( : )กันจนชินแล้ว
  
      ในปี 1923 คณะกรรมการแห่งชาติเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในสหรัฐอเมริกากล่าวว่าเครื่องหมายหาร    (÷)และเครื่องหมายโครอน( : ) ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในชีวิตธุรกิจ  แต่ใช้ในวิชาพีชคณิตเท่านั้น  จึงได้มีการนำเครื่องหมายเศษส่วน( / )มาใช้แทนเครื่องหมายหาร   (÷)

           อ้างอิงจากรายงาน  National Committee on Mathematical Requirement ของ Mathematical Association of America,Inc( 1923,P 81 ) 

 เครื่องหมาย ´ มีกี่แบบ

         คำว่า Multiply มาจากคำว่า Multiplicare  เป็นภาษาละติน   ซึ่งหมายถึง  การมีค่าเพิ่มมากขึ้นเป็นทวีคูณ  นักคณิตศษสตร์ Oughtred เป็นคนคิดเครื่องหมายคูณเป็นรูป ´ ในปี1631   ต่อมา Harriot  แนะนำให้ใช้เครื่องหมายจุด  .  ในปีเดียวกัน 

   ในปี  ค.ศ. 1698 Leibniz    เขียนถึง  Bernoulli  ว่า     “ ฉันใช้ ´ เป็นสัญลักษณ์ในการคูณ     มันสับสนกับตัวX บ่อยครั้ง ฉันจึงใช้สัญลักษณ์ง่ายๆ คือ   . (จุด) ” 

   ปัจจุบันนี้การคูณใช้เครื่องหมาย 3 แบบได้แก่   3´a หรือ   3.a หรือ (3)a หรือการวางชิดกันคือ 3a

  ทำไม…การบวกจึงใช้เครื่องหมาย + 

      ว่าบวกมาจากภาษาละตินว่า adhere ซึ่งหมายความว่า “ ใส่เข้าไป ”  Widman เป็นคนแรกที่คิดใช้เครื่องหมาย 
 “ + ” และ “ - ”       ในปี 1489  เขากล่าวว่า “  -  คือ minus และ + คือ more เชื่อกันว่าสัญลักษณ์ “ + ” มาจาก
ภาษาละติน et  แปลว่า “ และ ”

รู้ไหม…สัญลักษณ์ p   ที่ใช้ในการหาพื้นที่วงกลมมีความเป็นมาอย่างไร 

            ในอดีตไม่มีหลักฐานที่แน่ชัดว่า p เป็นจำนวนอตรรกยะ ในคัมภีร์ไบเบิล(I Kings 7: 23) ตัว p ถูกกำหนด
ให้มีค่าเป็น 3 ในปี 1892 นิตยสาร นิวยอร์กไทม์ แสดงค่า p เท่ากับ 3.2  อีกทั้งในปี 1897 ใน House Bill หมายเลข  246 ในรัฐอินเดียนน่า ให้ p มีค่าเท่ากับ 4 ในหนังสือพิมพ์ในปี 1934 ให้ p มีค่า   ( สัญลักษณ์ pพบครั้งแรกในปี 1934แต่ยังไม่แพร่หลาย จนกระทั่ง Euler เริ่มนำมาใช้ในปี 1737), ในปี 1873 William Shanks คำนวณค่า p ได้ทศนิยม 700 ตำแหน่ง โดยเขาใช้เวลานานถึง 15 ปี อย่างไรก็ตามได้มีการนำเทคนิคทางคอมพิวเตอร์มาใช้แทนซึ่งคำนวณได้แม่นยำกว่า 100 ตำแหน่ง    คุณอาจสงสัยว่า p คืออะไร     

                    
 ปัจจุบันพิสูจน์ได้ว่า p เป็นจำนวนอตรรกยะ  และเราใช้    หรือ  3.14  เป็นค่าประมาณของ p
ศึกษารายละเอียดเกี่ยวกับ p  ได้จาก http://school.net.th/l:brary/snet2/know/dge-math/piel.htm.

การค้นหาค่า  p

          อักษร  p  อ่านว่า พาย เป็นสัญลักษณ์ที่  Willia  Jones  ได้เริ่มใช้เป็นคนแรกเพื่อบอกอัตราส่วนระหว่างความ
ยาว  เส้นรอบวงของวงกลมใดๆกับความยาวเส้นผ่าศุนย์กลางของวงกลมนั้น  ซึ่งวงกลมทุกวงจะมีอัตราส่วนดังกล่าวเท่า
กันหมดคือ ประมาณ3.1415926

          ประวัติศาสตร์ได้จารึกไว้ว่า  เมื่อประมาณ 4,000 นี้ นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลน รู้จักคำนวณค่า p  ได้ประมาณ
 3.125 และนักคณิตศาสตร์ได้พบว่า วงกลมใดก็ตามที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางยาว 9 หน่วย จะมีพื้นที่เท่ากับ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่
ด้านยาว 8 หน่วย นั้นคือ p 256/81 = 3.1604

          Archimedes  นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ซึ่งเคยมีชีวิตอยู่เมื่อ  2,250 ปีก่อน ได้แสดงวิธีหาค่า p ใน
หนังสือMeasurement of  a Circle โดยคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่บรรจุในวงกลม และได้ค่า p ว่าอยู่
ระหว่าง 3.1408 กับ 3.1428 ในเวลาต่อมาอีกราว 400 ปี  Ptolemy  นักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงพบว่า p มีค่า        
          3  /120 = 3.141666 และในราวคริสต์ศตวรรษที่ 5

 Tsu – Chung-Chih ชาวจีนคำนวณค่า p ได้ 3.1415926 ซึ่งนับว่าถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 7
          วงการคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณถือกันว่าใครคำนวณค่า p ซึ่งได้ทศนิยมละเอียดยิ่งมีความสามารถมาก
 L.Ceuben ชาวเนเธอร์แลนด์ คำนวณค่าได้จุดทศนิยมถึง 32 ตำแหน่ง และค่าที่เขาหามาได้อย่างลำบากนี้ ได้ถูกนำมา
เรียงจารึกบนหลุมฝังศพของเขา เมื่อเขาสิ้นชีวิต

          ในปี พ.ศ. 2320 Le Conte de Buffon พบว่าเขาสามารถหาค่า p ได้จากการทดลองโยนเข็มเล่มหนึ่งอย่างไม่
ตั้งใจลงบนพื้นซึ่งเส้นขนาน 2 เส้น หากเข็มที่เขาใช้มีความยาว l และระยะห่างระหว่างเส้นขนานเท่ากับ d โดยที่ l < d
 เขาพบว่า โอกาสที่เข็มจะพาดตัวตัดเส้นขนานเส้นหนึ่ง มีค่าเท่ากับ 2 ดังนั้นเวลาเขาโยนเข็ม N ครั้งแล้วนับจำนวนครั้ง
ที่เข็มพาดทับเส้นขนาน สมมติว่าได้เท่ากับ n ก็แสดงว่า   นั่นคือ p = 2lN/dn   
   -   Machin (  2249  )  ใช้สูตร         ได้ p ถูกต้องตำแหน่งที่ 100

   -   Newton     ใช้สูตร :-     ได้ p ถูกถึงตำแหน่งที่  15   

   -  Ramanujam ( 2458 ) 
    ใช้สูตร :-   ได้ค่า p ถูกต้องถึงตำแหน่ง17,526,200  ตำแหน่ง

  -  Z    G.chudnosky ( 2537 ) 
     ใช้สูตร:-  หาค่า p  ได้ทศนิยม 4,055,000,000 ตำแหน่ง

     ใช้สูตร :- หาค่า p  ได้ทศนิยม 4,055,000,000 ตำแหน่ง
 

-  สถิติโลกในการหาค่า p  ปัจจุบันของ Y. Kamada  แห่งมหาวิทยาลัย Tokyo ซึ่งคำนวณค่า p ถึง ทศนิยม
   ตำแหน่งที่  6,442,450,938

-  เหตุใดคนเราต้องคำนวณค่า  p  ให้ได้ละเอียดถึงปานนั้น…คำตอบก็คือ…

          -   เมื่อเราคำนวณค่า ละเอียดค่า p ที่ได้จะเป็นตัวทดสอบ  สามารถเป็นตัวทดสอบประสิทธิภาพการทำงานของ
 Computer ได้   Computer เครื่องใดทำงานผิดพลาด  จะให้ค่า p ผิดทันที และ Computer ใดคำนวณค่าได้ทศนิยม
ถูกต้องถึง 1,000 ล้านตำแหน่ง แสดงว่า Computer เครื่องนั้นทำงานอย่างน้อย 1,000 ล้านจังหวะได้อย่างไม่ผิดพลาด

รู้ไหม…“ 0 ”  กำเนิดเมื่อไร

          ชาวอียิปต์ยังไม่มีสัญลักษณ์แทน  0  ชาวบาบิโลเนียนใช้ระบบตำแหน่งแต่ก็ยังไม่มี 0 ใช้  จึงทำให้ตัวเลขที่เขาใช้ยังไม่สมบูรณ์ จนกระทั่งในปีที่ 150 ของคริสตกาล ชาวมายัน ได้นำ 0 มาใช้เป็นกลุ่มแรก โดยใช้แสดงตำแหน่งและใช้แทนจำนวน 0 ซึ่งไม่ทราบว่านำมาใช้เมื่อใดจนกระทั่งมีบันทึกไว้ก่อนคริสตศตวรรษที่ 16 โดยนักเดินทางชาวสเปนที่เดินทางไปคาบสมุทรยูคาธาน พวกเขาพบว่า ชาวมายันได้มีการใช้ 0 อย่างแพร่หลายมาเป็นเวลานาน  ก่อนที่โคลัมบัส จะค้นพบอเมริกาเสียอีก 

รู้ไหม…ใครค้นพบลอการิทึม

จอห์น เนเปียร์ (John Napier:1550-1617) ได้รับยกย่องว่าเป็นคนค้นพบลอการิทึม ท่านเป็นคนแรกที่พิมพ์ผลงาน  Descriptio  ซึ่งเกี่ยวกับลอการิทึม ในปี 1614

      ในปี ค.ศ. 1588 แนวคิดที่คล้ายกันนี้ก็ได้รับการพัฒนาโดย   จ้อบ บูกี้ (Jobst Burgi)           Glaisher  กล่าวว่า การประดิษฐ์ลอการิทึม และตารางคำนวณ  มีคุณค่าอย่างยิ่งต่อวิทยาศาสตร์ไม่มีงานคณิตศาสตร์ใด ที่มีผลสืบเนื่องอย่างมีคุณค่าเท่ากับงาน Descriptio ของ เนเปียร์ ยกเว้น Principia ของนิวตัน

       แหล่งที่จะศึกษาทางประวัติเกี่ยวกับลอการิทึม มีอยู่ใน    Encyclopedia Britanica  พิมพ์ครั้งที่  11  ฉบับที่ 16     หน้า 868 – 877 เขียนโดย J.W.L. Glaisher และมีอยู่ใน “ History of the Exponential and Logarithmic Concepts. ในหนังสือวารสาร American Mathematical Monthly. Vol.20(1913) ซึ่งเขียนโดย Florian Cajori

มีใครทราบไหมเอ่ย…ประวัติลอการิทึม  มีความเป็นมาอย่างไร

                   เมื่อก่อน Logarithms เป็นตัวช่วย ในการคำนวณ แต่ในปัจจุบันนี้  มีความ สำคัญมากขึ้นในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ชาวบาบิโลเนียนเป็นพวกแรกที่ใช้ Logarithms ในการแก้ปัญหา และไม่ใช้ในการคิดคำนวณ

                   พื้นฐานของ Logarithms สมัยใหม่นั้น  ได้รับการพัฒนาขึ้นโดย Tycho Brahe (1546-1601) เพื่อใช้พิสูจน์ทฤษฎีของ Copernican  ซึ่งเกี่ยวกับทฤษฎีแห่งการเคลื่อนที่ วิธีการที่เขาใช้เรียกว่า prostaphaeresis

                   ในปี 1590   Brahe และ  John Craig  ได้เล่าให้Napier  ฟังเกี่ยวกับวิธีการของ Brahe ซึ่ง   Napier (1550 – 1617) เป็นคนแรกที่คิดคำว่า Logarithms ขึ้นมา Napier เปรียบเสมือนกับ Isaac Asimov  ในช่วงเวลานั้น เขาได้  จินตนาการถึง รถถัง ปืนกลและเรือดำน้ำ เขาได้ทำนายไว้ด้วยว่า โลกเราถึงการสิ้นสุดในระหว่างปี 1688 และ ปี 1700 ทุกวันนี้ Napier ได้รับการยกย่องว่าเป็นคนที่ประดิษฐ์ Logarithms ที่ใช้อย่างกว้างขวางในการคำนวณที่ซับซ้อน ตั้งแต่ก่อนการกำเนิดขึ้นของเครื่องคิดเลข ปัจจุบันเน้นการใช้  Logarithms กว้างขวาง และกว้างไกลมากกว่าการคำนวณแค่จำนวน ธรรมดา ๆ

อยากรู้ไหม…ว่าคุณเป็น  คนอัจฉริยะ( Genius )หรือไม่

          แบบทดสอบนี้ออกโดย  MENSA  ซึ่งเป็นสมาคมไอคิวสูง ของสหรัฐอเมริกา  คุณมีเวลาทดสอบ IQ จากข้อสอบนี้ 20 นาทีเท่านั้น ถ้าเกินเวลาควรหยุด    ณจะได้ข้อละ 1 คะแนน สำหรับข้อถูก แต่ถ้าคุณทำเสร็จภายใน 15 นาที
คุณจะได้เพิ่มอีก 4 คะแนน

       รู้ไหม…การถ่ายภาพในอวกาศ  คณิตศาสตร์ช่วยได้อย่างไร

               เมื่อภาพถูกส่งมาจากอวกาศ จะถูกส่งเป็นสัญลักษณ์ของระบบเลขฐานสอง ซึ่งรูป ภาพเหล่านั้น ไม่ได้ส่งมาอยู่
 ในรูปของแผ่นฟิล์ม แต่จะส่งออกมาเป็นจุดกลมเล็กมาก เรียก pixel

         ตัวอย่างภาพจะถูกแบ่งออกเป็น 1000 pixel ในแนวนอน และ 500 pixel ในแนวตั้ง
         แต่ละ pixel ถูกแทนด้วยตัวเลขที่มีความสว่าง ตั้งแต่  0 – 63 สำหรับสีขาวบริสุทธิ์จนถึงสีดำบริสุทธิ์
         ตัวเลขเหล่านี้จะถูกส่งกลับเป็นตัวเลขฐานสองมี 6 หลัก   ตั้งแต่ 000000 ถึง 111111
         คอมพิวเตอร์จะแปลเลขฐานสอง 6 หลักนี้ ลงในภาพถ่าย
         ภาพนี้เป็นดาว  Triton ซึ่งเป็นบริวารของดาวเนปจูน
         รูปภาพเหล่านี้จะถูกส่งไปโดยยาน Voyager 2 ในเดือนสิงหาคม ปี 1989