ความคิดในเรื่องเลขจำนวนเฉพาะได้มีการศึกษากันมาตั้งแต่สมัยยูคลิด  ยูคลิดได้กล่าวว่าตัวเลขใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของตัวเลขจำนวนเฉพาะ หรือกล่าวได้ว่าตัวเลขใด ๆ จะต้องมีตัวประกอบเป็นเลขจำนวนเฉพาะได้เสมอ
            N = p¹p²p³...pⁿ              เมื่อ p หมายถีงตัวเลขจำนวนเฉพาะ หรือ  1
     ยูคลิดยังได้พิสูจน์ให้เห็นว่า ในระบบเลขจำนวนเฉพาะ จะมีจำนวนตัวเลขจำนวนเฉพาะได้
อนันต์
     แฟร์มาต์ได้ทำการศึกษาเลขจำนวนเฉพาะ และได้พิสูจน์ให้เห็นว่า ตัวเลขจำนวนเฉพาะใด ๆ ที่มีรูปแบบเป็น 4n + 1 ตัวเลขจำนวนเฉพาะนี้จะเขียนให้อยู่ในรูปแบบของตัวเลขยกกำลังสอง
ของตัวเลขสองตัวรวมกัน  เช่น
                5   เป็นเลขจำนวนเฉพาะ
                5 = 4n + 1   =  4 x 1 + 1        (n = 1)
                ซึ่งเขียนได้  เป็น             5 = 2² + 1²
             หรือตัวอย่าง    13 = 4 x 3 + 1    เขียน   13 = 3² + 2²
   แฟร์มาต์ยังพิสูจน์ให้เห็นว่า 2ⁿ + 1 เป็นเลขจำนวนเฉพาะ ถ้าหาว่า n มีค่าเป็นตัวเลขของสองยกกำลัง  เช่น
            21 + 1 = 3
            22 + 1 = 5
           24 + 1 = 17
           28 + 1 = 257 .
               .
               .

          n = 1, 2, 4, 8, 16,....
    ตัวเลขจำนวนเฉพาะในกรณีนี้เรียกว่า ตัวเลขแฟร์มาต์  หลังจากนั้นต่อมาอีกประมาณ 100 ปี    ออยเลอร์ (Euler)   ได้พิสูจน์ให้เห็นว่าที่แฟร์มาต์ กล่าวมานี้ไม่เป็นจริงเพราะ  2³² + 1  เท่ากับ 4,294,967,297  เป็นตัวเลขที่ไม่ใช่เลขจำนวนเฉพาะ เพราะหารด้วย 641 ได้ลงตัว