(พาย)

     อักษร (พาย) เป็นสัญลักษณ์ที่นักคณิตศาสตร์อังกฤษชื่อ William James ใช้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2249 เพื่อบอกอัตราส่วนระหว่างความยาวเส้นรอบวงกลมกับความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมวงนั้น และเมื่อ Leonard Euler นักคณิตศาสตร์ชาติสวิสใช้สัญลักษณ์ นี้อีกในการกำหนดอัตราส่วนดังกล่าวในปี พ.ศ. 2280 นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกก็ได้ใช้  ตามตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ทุกวันนี้เรารู้ว่า มีค่า 3.1415926535897932384626433832795028841..............
     ประวัติศาสตร์ได้จารึกว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนได้เคยพยายามหาค่าของ เป็นครั้งแรก เมื่อประมาณ 4,000 ปีมาแล้ว และได้พบว่า มีค่าประมาณ 3 ส่วน นักคณิตศาสตร์อียิปต์ในเวลาต่อมาได้พบว่า มีค่าประมาณ 256/81 = 3.1604938 และเมื่อถึงยุคของ Archimedes ผู้เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของโลกเมื่อ 2,000 ปีก่อน ท่านก็ได้เคยคำนวณหาค่าของ เช่นกัน โดยใช้วิธีสร้างรูป 96 เหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลม แล้ววัดความยาวเส้นรอบรูปของรูป 96 เหลี่ยมด้านเท่านั้น จากนั้นก็เอาความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมหารความยาวเส้นรอบรูปที่วัดได้ Archimedes ได้พบว่า มีค่ามากกว่า 3 10/71 แต่น้อยกว่า 3 1/7 Archimedes จึงประมาณว่า มีค่า 3.1406
      ในปี พ.ศ. 693 Claudius Ptolemy แห่งเมือง Alexandria ได้สร้างรูป 360 เหลี่ยมด้านเท่าในวงกลม เพื่อคำนวณค่า และได้รายงานผลการคำนวณในหนังสือ Almagest ว่า มีค่าประมาณ 3.1416
       ส่วน Tsu Chung-Chik นักคณิตศาสตร์ชาติจีนก็ได้คำนวณ เช่นกัน และพบในปี พ.ศ. 1023 ว่า มีค่า 335/113 = 3.141592 และ Bhaskara นักคณิตศาสตร์ชาติอินเดียก็ได้พบในปี พ.ศ. 1693 ว่า = 3927/1250 = 3.1416
       งานค้นคว้าเกี่ยวกับค่าของ ได้หวนกลับสู่ยุโรปอีกครั้งหนึ่งในพุทธศตวรรษที่ 21 เมื่อ Francois Viete แห่งฝรั่งเศส ได้ใช้วิธีของ Archimedes สร้างรูป 393,216 เหลี่ยมด้านเท่าบรรจุลงในวงกลมแล้วคำนวณ ซึ่งเขาก็ได้พบว่า = 3.14159265358979323 ส่วน Ludolph Van Ceulen แห่งเนเธอร์แลนด์ ก็ได้พบว่า ที่เขาหาได้จากการสร้างรูป 4.61 ล้านล้านล้านเหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลม มีค่าถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 315 ซึ่งตัวเลขทั้ง 315 ตัวที่ Ceulen คำนวณได้นี้ได้ถูกนำมาเรียงจารึกบนหลุมฝังศพของเขา เมื่อเขาตายานคำนวณหาค่า ได้เริ่มมีชีวิตชีวาใหม่อีกครั้งหนึ่ง เมื่อ Isaac Newton ได้สร้างวิชาแคลคูลัสขึ้นมาใช้ในการหาค่าของ โดยได้พบว่า =
สูตรที่ Newton พบนี้ได้เปลี่ยนวิธีหาค่าของ จากการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามาเป็นวิธีการบวกลบเศษส่วนแทน คือจากวิธีเรขาคณิตมาเป็นวิธีพีชคณิต แต่วิธีการเช่นนี้ก็ใช่ว่าจะประเสริฐ เพราะถ้าเราต้องการให้ค่าของ ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สอง เราต้องบวก ลบเทอมต่างๆ ถึง 50 เทอม และถ้าเราต้องการค่าที่ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สาม เราต้องใช้ตัวเลขมากถึง 500 เทอม เป็นต้น และถ้าเราต้องการค่าให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ร้อย เราก็ต้องบวก ลบเลขจำนวนล้านล้านล้านเทอม ซึ่งเป็นเรื่องที่ไม่สะดวกเลย ถึงกระนั้นนักคณิตศาสตร์ก็ได้ยอมรับว่าวิธีหาค่าของ วิธีนี้ ดีกว่าวิธีเก่ามาก

ในปี พ.ศ. 2242 Abicham Sharp ได้ใช้วิชาแคลคูลัสคำนวณหาค่าของ ได้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 72 และอีก 7 ปีต่อมา John Machin ได้พบสูตร = 4 (arctan (1/5)-arctan (1/239)) และก็ได้ใช้สูตรนี้หาค่า ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 100 ในปี พ.ศ. 2490 J.W. Wrench นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันได้คำนวณค่า ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 808

เมื่อถึงปี พ.ศ. 2492 การคำนวณหาค่า ก็เริ่มเปลี่ยนโฉมใหม่ เมื่อกองทัพบกของสหรัฐฯ ได้ใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ ENIAC คำนวณ ได้ทศนิยมถูกต้องถึง 2,037 ตำแหน่ง โดยใช้เวลานาน 70 ชั่วโมง และเมื่อเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนามากขึ้น การคำนวณค่า ก็ยิ่งถูกต้องและละเอียดมากขึ้น ในปี พ.ศ. 2538 Yasumasa Kanada แห่งมหาวิทยาลัยโตเกียว ได้คำนวณค่า ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 4,294,960,000 และได้พบว่าตัวเลขทศนิยมตำแหน่งที่ 4 พันล้านนั้น คือเลข 9 แล้วมีเลข 4375343.....ตาม ข้อสังเกตหนึ่งที่ Kanada กับคณะได้พบคือ จากตัวเลขทั้ง 4 พันล้านตัวเลขนั้น เลข 6 ปรากฏบ่อยครั้งที่สุดคือ 400,033,035 ครั้ง และเลข 2 ปรากฏน้อยครั้งที่สุดคือ 399,965,405 ครั้ง

และในปี พ.ศ. 2542 Y.Kanada ก็ได้ลบสถิติของตนเอง เมื่อเขาประกาศว่า เขาได้คำนวณค่า ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 206,158,430,000 โดยใช้วิธีการสองรูปแบบที่แตกต่างกัน โดยคอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่งใช้เวลานาน 37 ชั่วโมง และอีกเครื่องหนึ่งใช้เวลา 46 ชั่วโมง ผลการคำนวณแสดงให้เห็นว่า ตัวเลขทศนิยมตำแหน่งที่ 206,158,430,000 นั่นคือเลข 4

คำถามหนึ่งที่คนทั่วไปต้องการรู้คำตอบคือ เหตุใดมนุษย์จึงต้องทุ่มเทความพยายาม (และทรัพย์สิน) ในการหาค่า ให้ได้จุดทศนิยมละเอียดถึงล้านล้านล้าน...ตำแหน่ง เพราะเวลานักฟิสิกส์ต้องการจะรู้ขนาดของจักรวาล เพียงเขาใช้ค่า ที่มีจุดทศนิยมเพียง 40 ตำแหน่ง เขาก็สามารถรู้ขนาดดังกล่าวอย่างผิดพลาดไม่เกิน 0.000000001 เมตร แล้ว โดยไม่จำเป็นต้องใช้ตัวเลขที่ละเอียดถึงสองแสนล้านล้านตำแหน่งทศนิยมเลย

คำตอบก็มีว่า นักคอมพิวเตอร์ใช้วิธีคำนวณค่า ในการทดสอบประสิทธิภาพการทำงานของคอมพิวเตอร์ เพราะในโปรแกรมที่ใช้ในการหาค่า ให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่แสนล้านหลักนั้น คอมพิวเตอร์ต้องทำงานร้อยล้านล้านขั้นตอนอย่างไม่ผิดพลาด และคอมพิวเตอร์เครื่องใดที่สามารถทำงานได้เป็นล้านล้านๆ ขั้นตอนได้อย่างไม่ผิดพลาดเลยนั้น ก็สมควรได้รับการยกย่องว่าเป็นคอมพิวเตอร์เทวดาสร้างจริงๆ

ส่วนนักคณิตศาสตร์เองก็มีความสนใจที่จะศึกษาดูว่า จากตัวเลขจุดทศนิยมที่ปรากฏออกมาเป็นล้านล้านล้าน...เลขนั้น ตัวเลข 0, 1, 2, 3.....9 ปรากฏตัวบ่อยครั้งเท่ากันหรือไม่ และตัวเลขเหล่านั้นมีรูปแบบการปรากฏหรือไม่ว่าจะเริ่มซ้ำที่ทศนิยมตำแหน่งใด เป็นต้น เช่นได้มีการพบว่า ตัวเลขชุด 314159 ได้ปรากฏเรียงกัน 6 ครั้งในบรรดาเลข 710,000 ตัวแรก เป็นต้น

และถ้าเราพิจารณาดูค่าของ อีกครั้ง เราก็จะเห็นว่า เลข 3.14159265...นั้น แสดงให้เรารู้ว่าตัวเลขต่างๆ ที่ปรากฏไม่มีรูปแบบแน่นอนว่า ถ้ามีเลข 1 นำแล้วตามด้วย 4, 1, 5 แล้ว 9...ตัวเลขเหล่านี้ปรากฏอย่างสะเปะสะปะ บางครั้งก็ 3 แล้วไป 2 ย้ายมา 9 จากนั้น 8...ซึ่งนักคณิตศาสตร์เรียกลักษณะการปรากฏตัวเช่นนี้ว่า สุ่ม (random) ดังนั้น เวลานักคณิตศาสตร์กล่าวว่า ตัวเลขเหล่านี้มีการกระจัดกระจายแบบสุ่ม นั่นก็หมายความว่า ถึงแม้เราจะรู้ตัวเลขทุกตัวขณะนี้ แต่เราก็ไม่สามารถบอกได้ว่า ตัวเลขตัวต่อไปจะเป็นตัวเลขอะไร

นักคณิตศาสตร์ส่วนมากเชื่อว่าเลขทศนิยมของ เป็นเลขสุ่ม แต่ก็ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า มันเป็นเลขสุ่มอย่างแท้จริงตลอดระยะเวลา 900 ปีที่ผ่าน
มาแต่เมื่อเดือนสิงหาคม พ.ศ. 2544 Richard Crandall แห่ง Reed College และ David Bailey แห่ง Lawrence Berkeley National Laboratory ในสหรัฐอเมริกาได้รายงานในวารสาร Experimental Mathematics ว่า สมการ xn = (2xn-1+1/n) mod1 เวลาให้ค่า x0 = 0 จะได้ x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1/3, x4 = 11/12, x5=1/30, x6 = 7/30, x7 = 64/105, x8 = 289/840...ซึ่งตัวเลขเหล่านี้จะให้ค่า log2 = 0.6931471805599453...

โดยการเสนอสูตรเช่นนี้ Bailey และ Crandall จึงได้ชื่อว่าเป็นผู้ที่พบวิธีพิสูจน์ว่าเลขทศนิยมของ log2 เป็นเลขสุ่ม และก็ได้ตั้งความหวังให้คนอื่นๆ รู้ว่า เทคนิคการพิสูจน์สภาพสุ่มของ ก็คงสามารถกระทำได้เช่นกัน หากใครสามารถหาสมการ dynamical map ที่คล้องจองกับมันได้ ดังเช่นในกรณีของ log2สำหรับเราๆ นั้น เราก็หวังว่างานวิจัยหาค่า คงดำเนินต่อไปอีก จนกระทั่งได้ทศนิยมตำแหน่งสุดท้าย แต่เมื่อไม่มีใครรู้ชัดว่า ตัวเลขตัวสุดท้ายของค่า มีหรือไม่มี และถ้ามีมันจะเป็นตัวเลขอะไร งานวิจัยเรื่องนี้จึงดูเป็นงานที่ไม่รู้เสร็จ