หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ความน่าจะเป็น

                                          กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

         กฎข้อที่ 1  ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้  n₁ วิธี

                              และในแต่ละวิธีเลือกทำงานอย่างแรกนี้มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n₂ วิธี

                              จำนวนวิธีที่เลือกทำงานทั้งสองอย่างเท่ากับ n₁n₂ วิธี

                  โดยการขยายกฎข้อที่ 1 ให้ใช้กับการทำงานหรือปฏิบัติการมากกว่า 2 อย่าง จะได้กฎเกณฑ์

ทั่วๆไปสำหรับคำนวณจำนวนวิธีทั้งหมดสำหรับการทำงาน k อย่าง สรุปได้เป็นกฎข้อที่ 2 คือ

       กฎข้อที่ 2  ถ้างานอย่างแรกมีวิธีทำได้    n₁ วิธี

                    ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกมีวิธีที่จะทำงานอย่างที่ 2 ได้ n₂ วิธี

                    และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและงานอย่างที่สองมีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สามได้ n₃ วิธี

                    ฯลฯ จำนวนวิธีทั้งหมดที่เลือกทำงาน k อย่างเท่ากับ n₁n₂n₃…n_k วิธี

ตัวอย่างที่ 6 โรงเรียนแห่งหนึ่งจัดอาหารกลางวันโดยให้นักเรียนเลือกอาหารคาวและขนมได้หนึ่งอย่าง ถ้าโรงเรียน
จัดอาหารคาว 4 อย่าง และขนม 3 อย่าง นักเรียนจะมีวิธีเลือกอาหารกลางวันได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ   การเลือกอาหารกลางวันจะต้องเลือกอาหารคาวได้ 1 อย่างจากอาหารคาว 4 อย่าง

             และเลือกขนมได้ 1 อย่างจากขนม 3 อย่าง การเลือกอาหารกลางวันเป็นการทำงานสองอย่าง

             โดยอาศัยกฎข้อที่ 1 มีวิธีเลือกอาหารคาวได้ 4 วิธี

      แต่ละวิธีที่เลือกอาหารคาวจะเลือกขนมหวานได้อีก 3  วิธี

      ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกอาหารกลางวันเท่ากับ 4 3 วิธี

        = 12 วิธี     

ตัวอย่างที่ 7 ในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ เหรียญอาจจะขึ้นหัวหรือก้อยก็ได้ ถ้าชายคนหนึ่งโยน

                    เหรียญบาท 3 เหรียญพร้อมกันหนึ่งครั้ง จะได้ผลต่าง ๆ กันทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ          การทำงานในกรณีนี้ คือ การโยนเหรียญ 3 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง มีการทำงาน 3 ขั้นตอน ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 การโยนเหรียญอันที่ 1 จะเลือกได้ 2 วิธี คือ หัว หรือ ก้อย

ขั้นตอนที่ 2 ในแต่ละวิธีที่โยนเหรียญอันที่ 1 เหรียญอันที่ 2 จะเลือกได้อีก 2 วิธี

ขั้นตอนที่ 3 ในแต่ละวิธีที่โยนเหรียญอันที่ 1 และโยนเหรียญอันที่ 2 เหรียญอันที่ 3 จะเลือกได้อีก 2  
 วิธีดังนั้น ชายคนนี้จะโยนเหรียญบาท 3 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง จะได้ผลต่าง ๆ กันทั้งหมด

 22  2 = 8 วิธี

ตัวอย่างที่ 8  ข้อสอบประเภทให้เลือกคำตอบว่าจริงหรือเท็จชุดหนึ่งมี 10 ข้อ นักเรียนจะมีวิธีทำข้อสอบชุดนี้  
 ได้ต่าง ๆ กันกี่วิธี (สมมติว่าต้องตอบข้อสอบทุกข้อ)

วิธีทำ            คำถามแต่ละข้อตอบได้ 2 วิธี คือ จริงหรือเท็จ

                     เลือกทำข้อ 1                                                                     ได้ 2 วิธี

                     ขณะที่เลือกทำข้อ 1 ได้ สามารถเลือกทำข้อ 2                            ได้ 2 วิธี

                     และขณะที่เลือกที่เลือกทำข้อ 1 และ 2 ได้สามารถเลือกทำข้อ 3       ได้ 2 วิธี

                     และเช่นเดียวกัน ขณะที่เลือกทำข้อ 1, 2, 32 2 222 2  2       วิธี

                    นั่นคือ  นักเรียนแต่ละคนสามารถเลือกทำข้อสอบได้ทั้งหมด        วิธี

ตัวอย่างที่ 9 บริษัทผลิตเสื้อผ้าสำเร็จรูปแห่งหนึ่งผลิตเสื้อ 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ  
ถ้าจะจัดการแต่งตัวให้กับหุ่นเพื่อนำไปโชว์หน้าร้าน จะสามารถแต่งเป็นชุดต่างๆกัน ได้กี่ชุด

วิธีทำ   ในการแต่งตัวให้กับหุ่น มี 3 ขั้นตอน คือ

            ขั้นตอนที่ 1   .................................................................

            ขั้นตอนที่ 2   .................................................................

            ขั้นตอนที่ 3   .................................................................

ดังนั้นจะสามารถแต่งเป็นชุดต่างๆกัน ............................................. ชุด

ตัวอย่างที่ 10 สมาคมแห่งหนึ่งมีสมาชิก 50 คน ถ้าต้องการเลือกคณะกรรมการชุดหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยนายกสมาคมอุปนายกสมาคม เลขาธิการ และเหรัญญิก ตำแหน่งละ 1 คน โดยที่กรรมการ คนเดียวกันจะทำหน้าที่ มากกว่า 1 ตำแหน่งไม่ได้ จะมีวิธีการเลือกคณะกรรมการได้กี่วิธี

วิธีทำ   ในการเลือกคณะกรรมการ จะเลือกตำแหน่งใดก่อนก็ได้ ซึ่งแบ่งออกเป็น 4 ขั้นตอน ดังนี้

            ขั้นตอนที่ 1   เลือกนายกสมาคมได้ ................ วิธี

            ขั้นตอนที่ 2   เลือกอุปนายกสมาคมได้ ................ วิธี

                                (เลือกไปแล้ว 1 คนเหลือ ........ คน) 

            ขั้นตอนที่ 3   เลือกเลขาธิการได้ ................ วิธี

                                (เลือกไปแล้ว 2 คนเหลือ ........ คน) 

            ขั้นตอนที่ 4   เลือกเหรัญญิกได้ ................ วิธี

                                (เลือกไปแล้ว 3 คนเหลือ ........ คน) 

            ดังนั้น เลือกคณะกรรมการได้ทั้งหมด ................................................................... วิธี

หลักการบวก

ตัวอย่างที่ 11 หนังสือกองหนึ่งมีหนังสือคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน 5 เล่ม หนังสือเคมีที่แตกต่างกัน 4 เล่ม  และหนังสือ
วิชาภาษาไทยที่แตกต่างกัน 3 เล่ม จงหาจำนวนวิธีที่หยิบหนังสือ 1 เล่ม  จากหนังสือกองนี้

วิธีทำ             การหยิบหนังสือ 1 เล่ม จากกองหนังสือนี้มีวิธีการ 3 วิธี คือ หยิบหนังสือ  คณิตศาสตร์ หรือหยิบหนังสือเคมี
                     หรือหยิบหนังสือภาษาไทย เนื่องจาก

                      การหยิบหนังสือคณิตศาสตร์ มีวิธีการหยิบ 5 วิธี

                      การหยิบหนังสือเคมี มีวิธีการหยิบ 4 วิธี

                      การหยิบหนังสือภาษาไทย มีวิธีการหยิบ 3 วิธี

                      ดังนั้น วิธีที่หยิบหนังสือ 1 เล่ม จากหนังสือกองนี้มีทั้งหมด 5 + 4 + 3 = 12 วิธี

ตัวอย่างที่ 12  จะจัดชาย 3 คน และหญิง 3 คนเข้าแถวตรงได้กี่วิธี โดยให้ชายและหญิงยืนสลับกัน

วิธีทำ            กิจกรรมนี้ทำได้ 2 แบบ คือ

                     แบบที่ 1 จัดให้ชายยืนอยู่หัวแถว จะจัดได้ดังนี้
 

จะจัดชายได้    3 × 2 × 1 =  6  วิธี            จะจัดหญิงได้   3 × 2 × 1 =  6  วิธี

ดังนั้น  จะจัดชาย 3 คน และหญิง 3 คน เข้าแถวตรงโดยให้ชายและหญิงยืนสลับกันโดยชายอยู่หัวแถว

ได้ทั้งหมด    6  ×  6  =  36  วิธี

แบบที่ 2  จัดให้หญิงอยู่หัวแถว จะจัดได้ดังนี้
 

                                      

                           จะจัดหญิงได้   3 × 2 × 1 =  6  วิธี           จะจัดชายได้    3 × 2 × 1 =  6  วิธี

 ดังนั้น  จะจัดชาย 3 คน หญิง 3 คน เข้าแถวตรงโดยให้ชายและหญิงยืนสลับกันโดยหญิงยืนหัวแถว
 ได้ทั้งหมด  =  6  ×  6  =  36  วิธี

           ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะจัดชาย 3 คน และ หญิง 3 คน เข้าแถวตรงโดยให้ชายและหญิงยืนสลับกันได้
  ทั้งหมด   36 + 36  =  72  วิธี

                                    แบบฝึกหัดที่ 1

                  เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
 

1. นักกีฬาคนหนึ่งมีกางเกง 2 ตัว เสื้อ 3 ตัว เขาจะใช้กางเกงและเสื้อแต่งเล่นกีฬาได้กี่วิธี

     และเขียนแผนภาพต้นไม้เพื่อตรวจสอบคำตอบ

2. มีผู้สมัครเข้าทำงาน 6 คน โดยมีตำแหน่งงานอยู่ 3 ตำแหน่ง มีวิธีคัดเลือกบุคคลเข้าทำงานในตำแหน่ง

    ทั้งสามได้กี่วิธี

3. มีผู้สมัครวิ่งแข่ง 100 เมตร 10 คน จะมีวิธีหาผู้ชนะที่ 1, 2 และ 3 ได้ทั้งหมดกี่วิธี

4. ในการเลือกประธานนักเรียน รองประธานนักเรียน และเหรัญญิก ตำแหน่งละ 1 คน ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง

    มีผู้สมัคร 8 คน โดยที่แต่ละคนจะทำหน้าที่ตำแหน่งใดก็ได้ อยากทราบว่าจะมีวิธีการเลือกคน 3 คน

    เข้าทำงานในหน้าที่ดังกล่าวได้กี่วิธี

5. ในการเลือกประธานนักเรียนและรองประธานนักเรียน จากนักเรียนห้องหนึ่ง ซึ่งมี 35 คน จะเลือกได้กี่วิธี

     ถ้ากำหนดว่าคนหนึ่งจะได้รับเพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น

6. คนกลุ่มหนึ่งเป็นชาย 6 คน เป็นหญิง 5 คน จับคู่รำวง 1 คู่ โดยชายคู่กับหญิงจะจัดได้กี่วิธี

7. คนกลุ่มหนึ่งเป็นชาย 5 คน เป็นหญิง 4 คน หญิงทั้ง 4 คน จะเลือกชายเป็นคู่เต้นรำได้แตกต่างทั้งหมดกี่วิธี

8. จากเมือง A ไปยังเมือง B 3 ทาง และจากเมือง B ไปยังเมือง C 2 ทาง อยากทราบว่าจะเดินทางจากเมือง A

    ไปยังเมือง C โดยผ่านเมือง B ได้กี่วิธี จงเขียนแผนภูมิต้นไม้แสดงการนับด้วย

9. มีถนนจากเมือง A ไปยังเมือง B 5 สาย และจากเมือง B ไปยังเมือง C 4 สาย จงหาวิธีทั้งหมดที่ขับรถยนต์

    จากเมือง A ไปยังเมือง C แล้วขับกลับโดยผ่านเมือง B ทั้งไปเที่ยวและไปกลับ และไม่ขับผ่านถนนสาย

    เดียวกันซ้ำสองครั้ง จงเขียนแผนภูมิต้นไม้แสดงการนับด้วย

10. จงหาจำนวนวิธีที่จัดคน 5 คน นั่งเรียงบนม้ายาว

11. จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดหนังสือ 7 เล่มที่แตกต่างกันไว้บนชั้นหนังสือในแนวตรง

12. มีภาพต่างกัน 12 ภาพ จงหาจำนวนวิธีที่จะแขวนรูป 4 รูปในแนวเดียวกัน

13. มีจดหมาย 4 ฉบับ ถ้าต้องการทิ้งจดหมายลงในตู้จดหมาย 3 ตู้ จะทิ้งจดหมาย 4 ฉบับได้กี่วิธี

14. มีจดหมาย 4 ฉบับ ถ้าต้องการทิ้งจดหมายลงในตู้จดหมาย 5 ตู้ โดยที่จดหมายแต่ละฉบับจะทิ้งลงตู้

      เดียวกันไม่ได้ จะมีวิธีทิ้งจดหมายทั้ง 4 ฉบับได้กี่วิธี

15. ห้องประชุมห้องหนึ่งมี 6 ประตู อุ้ยต้องการเดินเข้าและออกจากห้องประชุมนี้ อยากทราบว่าอุ้ยจะมีวิธี

      เดินเข้าและออกกี่วิธีเมื่อ

            1.  จะเข้าและออกประตูใดก็ได้

            2.  เข้าประตูใดแล้วออกประตูนั้นไม่ได้

16. ห้องประชุมห้องหนึ่งมี 5 ประตู นายแดงและนายดำต้องการเดินเข้าและเดินออกจากห้องนี้

      อยากทราบว่าจะมีวิธีการเดินเข้าและออกของชายสองคนได้กี่วิธีเมื่อ

            1.  ชายทั้งสองคน จะเข้าและออกประตูใดก็ได้

            2.  แต่ละคนเมื่อเข้าประตูใดแล้วออกประตูนั้นไม่ได้

            3.  ชายทั้งสองคน จะใช้วิธีการเข้าและออกเหมือนกันไม่ได้

17. มีลูกบอลต่างกัน 3 ลูก ต้องการนำลูกบอลเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง 4 กล่องที่แตกต่างกัน

      อยากทราบว่าจะมีวิธีการใส่ลูกบอลทั้งสามลูกกี่วิธี เมื่อ

            1.  ลูกบอลแต่ละลูกใส่กล่องไหนก็ได้

            2.  กล่องแต่ละใบจะรับลูกบอลได้ไม่เกิน 1 ลูก

            3.  ลูกบอลทั้ง 3 ลูกจะอยู่ในกล่องใบเดียวกัน

            4.  ลูกบอลแต่ละลูกจะอยู่ในกล่องเดียวกันได้ แต่จะอยู่ในกล่องเดียวกันทั้ง 3 ลูกไม่ได้

            5.  กล่องใบแรกเท่านั้นที่สามารถรับลูกบอลได้เพียง 1 ลูกเท่านั้น

18. สมศรีมีเสื้อที่แตกต่างกัน 10 ตัว เป็นสีแดง 2 ตัว สีน้ำเงิน 3 ตัว สีเขียว 4 ตัว และสีม่วง 1 ตัว และมี

      กระโปรงที่แตกต่างกันอีก 10 ตัว เป็นสีแดง 3 ตัว สีน้ำเงิน 6 ตัว และสีเขียว 1 ตัว หากเสื้อสีแดงสวม

      กับกระโปรงสีแดงหรือสีน้ำเงิน  เสื้อสีน้ำเงินสวมกับกระโปรงสีแดงหรือสีน้ำเงิน เสื้อสีเขียวสวมกับ

      กระโปรงสีเขียวได้อย่างเดียว เสื้อสีม่วงสวมกับกระโปรงสีแดงหรือสีเขียว จงหาวิธีทั้งหมดที่สมศรี    

      จะเลือกสวมเสื้อ 1 ตัว และกระโปรง 1 ตัวให้เข้าชุดกันตามเงื่อนไขข้างต้น

19. เจนนี่มีโอกาสเล่นเกมอย่างหนึ่งมากที่สุด 5 ครั้ง ในแต่ละครั้ง ถ้าเล่นได้จะได้ลูกแก้ว 1 ลูก

      ถ้าแพ้จะเสียลูกแก้ว 1 ลูก เริ่มเล่น เจนนี่มีลูกแก้ว 1 ลูก เขาจะหยุดเล่นก่อน 5 ครั้ง ถ้าเขาเสียลูกแก้วหมด

      หรือได้กำไร 3 ลูกนั้นคือเขามีลูกแก้วรวม 4 ลูก จงหาวิธีทั้งหมดของการเล่นเกมนี้

      เขียนแผนภาพต้นไม้แสดงคำตอบด้วย

20  

จากแผนภูมิข้างบน ให้  A , B , C , D , E , F แทนเกาะ และเส้นตรงแทนที่เชื่อมแทนสะพาน ชายคนหนึ่ง  

      เริ่มต้นเดินทางที่เกาะ A แล้วเดินไปตามเกาะต่างๆ เขาจะหยุดเมื่อเริ่มเดินซ้ำสะพานเดิม

      จงหาวิธีการที่เขาจะเดิน

21.  จงหาจำนวนเส้นทางจาก X ไปยัง Y ในทิศตามลูกศรของแผนภาพต่อไปนี้

ตัวอย่างที่  1  มีเลขโดด  5  ตัว  ได้แก่  0,  1,  2,  3  และ  4  จะสร้างจำนวนโดยแต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ำกัน

                        ได้กี่วิธี เมื่อมีเงื่อนไขดังนี้

1.1 จำนวน 3 หลัก                  1.2 จำนวนคี่ 3 หลัก                  1.3 จำนวนคู่ 3 หลัก

วิธีทำ            1.1 จำนวน 3 หลัก แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ำ

วิธีที่ 1      ถ้าสร้างหลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย ตามลำดับดังนี้

                หลักร้อย                        หลักสิบ                              หลักหน่วย

                1, 2, 3, 4                 0, 1,  2,  3,  4                         0, 1, 2, 3,  4

                ลำดับที่  1                   ลำดับที่  2                             ลำดับที่  3

      จำนวนวิธี                   4     ×  4  ×  3       =     48     จำนวน

      โดยอาศัยกฎข้อที่  2

      เลือกตัวเลขมาวางในหลักร้อย  ได้        4         วิธี

     แต่ละวิธีที่เลือกตัวเลขมาวางในหลักร้อย  จะเลือกตัวเลขมาวางในหลักสิบได้  4  วิธี

    แต่ละวิธีที่เลือกตัวเลขมาวางในหลักร้อย  หลักสิบ  จะเลือกตัวเลขมาวางในหลักหน่วย  ได้   3 วิธี

    จำนวน  3  หลัก  แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ำมี   4 × 4 × 3   =  48  วิธี

วิธีที่  2     ถ้าสร้างหลักร้อย หลักหน่วย หลักสิบ ตามลำดับดังนี้

                หลักร้อย                          หลักสิบ                              หลักหน่วย

                1, 2, 3, 4                 0, 1,  2,  3,  4                         0, 1, 2, 3,  4

                ลำดับที่  1                   ลำดับที่  3                             ลำดับที่  2

จำนวนวิธี                   4    ×      3        ×  4        =     48     จำนวน

วิธีที่  3     ถ้าสร้างหลักหน่วย  หลักร้อย  หลักสิบ  ตามลำดับดังนี้

                หลักร้อย                      หลักสิบ                              หลักหน่วย

                1, 2, 3, 4                 0, 1,  2,  3,  4                         0, 1, 2, 3,  4

                ลำดับที่  2                 ลำดับที่  3                             ลำดับที่  1

กรณีที่  1  หลักหน่วยเป็น  0

จำนวนวิธี                   4     ×   3   ×    1              =     12     จำนวน

กรณีที่  2  หลักหน่วยเป็น  0

               จำนวนวิธี    3  ×   3   ×   4              =     36     จำนวน

ดังนั้น  จำนวน  3  หลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ำมี   12 + 36  =  48    จำนวน

ให้นักเรียนเปรียบเทียบวิธีคิดทั้ง  3  วิธีแล้วสรุปผล

1.       ได้คำตอบ  ………………………………..(เท่ากัน/ไม่เท่ากัน)

2.       (วิธีที่  1 / วิธีที่  2  /  วิธีที่  3)  ………………………………………..เป็นวิธีที่คิดได้รวดเร็วและกะทัดรัด

       (ตอบได้มากกว่า 1 วิธี) เพราะ………………………………………………………

1.2 จำนวนคี่  3 หลัก  แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ำ

                หลักร้อย                      หลักสิบ                              หลักหน่วย

                1, 2, 3, 4                 0, 1,  2,  3,  4                            1, 3 

                ลำดับที่  2                                 ลำดับที่  3                             ลำดับที่  1

                        จำนวนวิธี 3  ×   3 ×  2    =     18     จำนวน

                1.3 จำนวนคู่  3  หลัก  แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ำ

                หลักร้อย                      หลักสิบ                              หลักหน่วย

                1, 2, 3, 4                 0, 1,  2,  3,  4                            0, 2, 4 

                ลำดับที่  2                   ลำดับที่  3                             ลำดับที่  1

กรณีที่  1  หลักหน่วยเป็น  0

                    จำนวนวิธี     4   × 3   ×  1   =     12     จำนวน

กรณีที่  2  หลักหน่วยไม่เป็น  0

                    จำนวนวิธี   3   ×   3  ×   2  =     18      จำนวน

จำนวนคู่  3 หลัก แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ำกันมี 12 + 18 =   30 จำนวน

ตัวอย่างที่ 2  มีเลขโดด 6 ตัว ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะสร้างจำนวนโดยแต่ละหลักใช้ตัวเลขซ้ำกันได้กี่วิธี

                                2.1 จำนวน 3  หลัก                              2.2 จำนวนคี่ 3 หลัก                            2.3 จำนวนคู่ 3 หลัก

วิธีทำ                    2.1 จำนวน 3 หลักแต่ละหลักใช้ตัวเลขซ้ำได้

หลักร้อย                                หลักสิบ                                 หลักหน่วย

                           1, 2, 3, 4, 5                    0, 1, 2, 3, 4, 5                     0, 1, 2, 3, 4, 5
 

                      จำนวนวิธี  5  × 6  ×  6    =             180    จำนวน

  2.2 จำนวนคี่ 3 หลักแต่ละหลักใช้ตัวเลขซ้ำได้

หลักร้อย                                หลักสิบ                                 หลักหน่วย

                           1, 2, 3, 4, 5                      0, 1, 2, 3, 4, 5                           1, 3, 5

                       จำนวนวิธี     5   × 6   × 3  =             90     จำนวน

   2.3 จำนวนคู่ 3 หลักแต่ละหลักใช้ตัวเลขซ้ำได้

หลักร้อย                                หลักสิบ                            หลักหน่วย

                            1, 2, 3, 4, 5                      0, 1, 2, 3, 4, 5                        0, 2, 4

                          จำนวนวิธี        5×6×3      =     90     จำนวน

                                      แบบฝึกหัดที่ 2

                       เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
 

1.  มีเลขโดด 5 ตัวคือ 1, 2, 3, 4, และ 5 สร้างจำนวนได้กี่จำนวน โดยไม่ให้ตัวเลขแต่ละหลักซ้ำกัน

      1.  จำนวน 3 หลัก

      2.  จำนวนคู่ 3 หลัก

      3.  จำนวนคี่ 3 หลักที่มีค่ามากกว่า 4,000

2.  มีเลขโดด 5 ตัว คือ 0, 4, 6, 7, 8 นำมาสร้างเป็นจำนวนได้กี่จำนวนโดยที่ตัวเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน

      1.  จำนวน 4 หลัก

      2.  จำนวน 4 หลักที่มากกว่า 7,000

      3.  จำนวนคู่ 4 หลัก

3.  มีเลขโดด 4 ตัวคือ 1, 5, 6 และ 8 สร้างจำนวน 3 หลักได้กี่จำนวนโดยที่

      1.  ตัวเลขในแต่หลักซ้ำกันได้

      2.  ตัวเลขในแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน

4.  มีบัตร 8 ใบ โดยมีบัตรตัวเลข 1, 2, 3, 4 อย่างละ 2 ใบ จะเลือกบัตร 2 ใบมาวางเรียงเป็นตัวเลข 2 หลักได้

     กี่จำนวน

5.  จำนวนเลข 4 หลัก ซึ่งแต่ละหลักมาจากเลขโดด 1, 2, 3, 5, 8, 9, 0 เลขแต่ละหลักใช้ซ้ำกันได้มีกี่จำนวนโดย

      กำหนด

      1.  หารด้วย 2 หรือ 5 ลงตัว

      2.  หารด้วย 2 และ 5 ลงตัว

6.  เลข 5 หลักที่เกิดจากเลขโดดตั้งแต่ 1 ถึง 9 และไม่มีเลขหลักใดซ้ำกันที่หารด้วย 5 ลงตัวมีทั้งหมดกี่จำนวน

7.  จำนวนเต็มบวก 4 หลักซึ่งเลขในแต่ละหลักไม่ซ้ำกันมีกี่จำนวน

      1.  10 หารลงตัว

      2.  5 หารลงตัว

      3.  2 หารลงตัว

      4.  มากกว่า 5,000

      5.  น้อยกว่า 3,000

      6.  มากกว่า 7,300

      7.  น้อยกว่า 4,600

      8.  มากกว่า 2,000 แต่น้อยกว่า 6,000

      9.  มากกว่า 1,500 แต่น้อยกว่า 4,700