ข้อสอบการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกแห่งประเทศไทย ประจำปี พ.ศ.2549
 (สอบแข่งขันรอบที่ 1)  ข้อสอบมี 35 ข้อ ใช้เวลา 35  นาที

                                          เหลือเวลา  [  ]  นาที

        ให้กลับขึ้นมาตรวจสอบเวลาเรื่อย ๆ  และเมื่อหมดเวลาให้ตรวจคำตอบเลย อย่าทำต่อ  เพราะนี้คือการฝึกทักษะเท่านั้น
 
 
ตอนที่ 1  จงหาคำตอบของแต่ละข้อต่อไปนี้
     ให้ใช้เม้าส์คลิกที่หน้าข้ออักษร ก.ข.ค. หรือ ง. ที่เห็นว่าถูกที่สุดในแต่ละข้อ 

1)  กำหนดให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงสอดคลอ้งกับสมการ a2 − bc − 8a + 7 = 0 และ
     b2 + c2 + bc −  6a + 6 = 0     ค่าของ a ที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือข้อใด

ก.)   a ∈[− 7,1]
ข.)  a ∈(0,7)
ค.)  a ∈[1,9]
ง.)   a ∈( − ∞,1]∪ [9,∞)

 
2) สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งแนบในวงรีซึ่งมีสมการคือ x2 + 5y2 = 5 จุดยอดจุดหนึ่ง ของรูปสามเหลี่ยมนี้
    คือ จุด (0,1) และส่วนสูงหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมนี้อยู่บนแกน y ด้านของรูปสามเหลี่ยมนี้ ยาวเท่ากับ
    เท่าใด

ก.)    หน่วย 
ข.)    หน่วย
ค.)    หน่วย
 
ง.)    หน่วย
 
3)  กำหนดให้ x, y,z เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับระบบสมการ

         xyz = 1
      
         
    ถ้า     เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ ห.ร.ม.(m,n)= 1

   แล้วค่าของ m + n เท่ากับเท่าใด
 


 

 

 

 ก.)  325
 
ข.)  331
 
ค.)   625
 
ง.)   637
 
4) กำหนดให้ A ={a1,a2,a3,…,an ,…} เป็นลำดับของจำนวนจริง นิยามลำดับ ΔA ดังนี้
   ΔA ={a2 − a1,a3 − a2,a4 − a3,…,an+1− an ,…}
   ถ้า Δ(ΔA)={1,1,1,…}   และสมมุติว่า a25 =1,000 และ a49 =1,900 แล้ว
   ค่าของ a1 เท่ากับเท่าใด
 

 
ก.)  772

ข.)  748

ค.)  700

ง.)  676


5) เส้นตรง AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ต่อเส้นตรง AB ไปทาง A จนถึงจุด E ลากส่วนของเส้น
    ตรง ECD ตัดเส้นรอบวงของครึ่งวงกลมที่ C และ D ลากเส้นตรง BC และ BD ถ้า มุม ADE=24°  และ
    มุม  DBC=46°  แล้วมุม BCD จะกางเท่าใด
 

 

 ก.)  10°


ข.)  30°


ค.)  34°


ง)   36°


6) ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ต่อด้าน DA ไปทาง A ไปยังจุด P และให้เส้นตรง PC ตัดเส้นตรง AB
    ที่จุด Q และเส้นตรง DB ที่จุด R ถ้า PQ = 525 หน่วย  และ QR = 80 หน่วย   แล้ว RC ยาวเท่ากับ
    เท่าใด
 

 

 ก.)  220 หน่วย
 

ข.)  240 หน่วย
 

ค.)  445 หน่วย
 

ง.)  484 หน่วย
 


7) ที่สำหรับจำนวนเต็มบวก n กราฟพาราโบลา y = (n2 + 3n + 2)x2 −(2n + 3)x + 1
   ตัดแกน x ที่ จุด (an , 0) และจุด (bn , 0)    ค่าของ      เท่ากับข้อใด

 

 ก.)  
ข)   
ค.) 

ง.)  

 
8)  กำหนดให้ f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d เมื่อ a,b,c,d เป็นจำนวนจริง
     ถ้ากราฟของ y = f (x) ตัดกับกราฟ y = 2x −1 ที่จุด x = 1, 2, 3 แล้ว
     ค่าของ f (0)+ f (4) เท่ากับเท่าใด

 

 

 ก.)  18

ข.)  22

ค.)  26

ง.)  30

 
9) ถ้า f(2x +1)= 4x2 +14x แล้ว ผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ f (x) = 0 เท่ากับเท่าใด
 


 

 ก.)  
ข.)  

 

ค.)  -5

 
ง.)   5

10)  กำหนดให้      เมื่อ −1 < x < 1
      ค่าของ      เท่ากับข้อใด
 

 

 ก.)   2f (x)
 
ข.)   3f (x)
 
ค.)   [f (x)]2
 
ง.)    [f (x)]3 − f (x)

ตอนที่ 2  จงหาคำตอบของแต่ละข้อแล้วตอบลงในกรอบสี่เหลี่ยมเล็ก                  

 
   

ข้อตกลง:-1. ให้พิมติดต่อกันไปเลย  ห้ามพิมพ์เว้นวรรคเด็ดขาด

               2. ให้ใส่เครื่องหมาย , คั่นตามหลักการเขียนตัวเลขให้ถูกต้อง

               3. ถ้าต้องตอบหน่วยให้ตอบคำเต็มห้ามย่อเช่น กิโลเมตร,เซนติเมตร และพิมพ์ต่อกันไปเลยเช่น 5กิโลเมตร
               4. ถ้าจะพิมพ์เศษส่วน เช่น ให้ใช้เครื่องหมายสะแลต(/) แทนเส้นคั่น จะเป็น  2/5  เป็นต้น

               5. การพิมพ์เลขยกกำลังเช่น  8a2 ให้ใส่เครื่องหมาย ^  บอกเลขยกกำลัง พิมพ์เป็น 8a^2  เป็นต้น

               6. การพิมพ์จำนวนที่ติดรากที่2  ให้ใส่ตัว  r แทนเช่น   ให้พิมพ์ว่า  7r+5 เป็นต้น

               7. การพิมพ์จำนวนที่ติดรากที่3  ให้ใส่ตัว  r แทนเช่น   ให้พิมพ์ว่า  r^3+56 เป็นต้น             

               8. ให้ใส่เครื่องหมาย ×(คูณ) ให้ใช้ตัว x (เอ็กเล็ก)  แทนเช่น  5x3  (พิมพ์ ห้าเอกสาม) เป็นต้น

[ทั้งนี้เราได้เฉลยไว้ในรายละเอียดการตอบแล้วให้เทียบดูละกัน]


กำหนดให้
      -  ℝ แทนเซตของจำนวนจริง
      -   I แทนเซตของจำนวนเต็ม
      -   I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก
1)

 

 

 

  - กำหนดให้ (a − b)(b − c)(c − a)= (a + b)(b + c)(c + a)
   ค่าของ        เท่ากับเท่าใด

 ตอบ  =        

 
2)
 

 

  - ให้ P0(x)= x3 +696x2 -95x-10
   −นิยาม Pn (x) = Pn−1(x − n) สำหรับจำนวนเต็มบวก n
     สัมประสิทธ์ของ x ใน P30(x) เท่ากับเท่าใด

ตอบ =   

 


3)
     

 - กำหนดให้     

   เซตคำตอบของสมการคืออะไร

ตอบ  =    

4)
     

 - กำหนดให้ f : I → ℝ เป็นฟังก์ชันสอดคล้องกับ
      สำหรับทุก x ∈ I

   ถ้า f (1) = 3 แล้วค่าของ f(2548)+ f (2549) เท่ากับเท่าใด

                      ตอบ  =    
 

5)
     

- กำหนดให้ f : I+ → I+ เป็นฟังก์ชั่นที่สอดคล้องกับ
        1. f(f (n))= 4n +15 และ
        2. f (2n )= 2n+1 + 5 สำหรับทุก n ∈ I+
         ค่าของ f(1659) เท่ากับเท่าใด

         ตอบ  =    

 



6)
     
 

 - รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีจุดยอดเป็น A(−8,5),B(−15,−19)และ C(1,−7)
  ถ้าสมการเส้นตรงแบ่งครึ่งมุม BAC คือ ax + 2y + c = 0
  แล้วค่าของ a + c เท่ากับเท่าใด

                                   ตอบ  =    
 



7)
     

- กำหนดให้ t เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า (1+ sint)(1+ cost) =     แล้วค่า

  ของ (1− sint)(1− cost) เท่ากับเท่าใด

          ตอบ  =    
 

8)
     

- รูปสามเหลี่ยม ABC มีความยาวด้านตรงข้ามมุม A ,B และ C  เป็น a หน่วย
 
  b หน่วย  และ c หน่วย ตามลำดับ   ถ้า a2 + b2 = 49c2 แล้ว 
  ค่าของ      เท่ากับเท่าใด

ตอบ  =    
 

9)        
 

-  ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ
  
    log9 (a) = log15(b) = log25(a + 2b)
    แล้วค่าของ       เท่ากับเท่าใด
 

                            ตอบ  =    
 
10) -  ก กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ
   log(1+ a2 )− log(a)− 2log(2) = 1− log(100 + b2 )+ log(b)
   ค่าของ ab เท่ากับเท่าไร

                            ตอบ  =    
 
11) 

     

-  กำหนดให้    เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
    ค่าของ      เท่ากับเท่าใด


 ตอบ  =    
 
 


12)
       

-   ค่าของ  เท่ากับเท่าไร



ตอบ  =    
 

13)

 - ถ้าให้ A ={a1,a2,a3,...,a50} เป็นสับเซตของ {1,2,3,...,100}
  โดยที่     และ ai + a j ≠ 101 สำหรับ 1 ≤ i < j ≤ 50
  ค่าของ     เท่ากับเท่าไร
 

ตอบ  =    
 
14) - ถ้ากำหนดให้ จุด A(a,20), B(b,55) และ O(0,0) เป็นจุดยอดของรูปสาม
   เหลี่ยม ด้านเท่า ABO ค่าของ ab เท่ากับเท่าไร

                         ตอบ  =    
 
15)
         		-  ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีมุม A เป็นมุมฉาก ให้ D และ F เป็น
   จุด อยู่บนเส้นตรง AC และ BC ตามลำดับ โดยที่เส้นตรง AF ⊥ BC
   และ   BD = DC = FC = 3 หน่วย อยากทราบว่าAC ยาวเท่าใด
 

           ตอบ  =    
 
16)

   

-  กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม(ดังรูป) มีพื้นที่เท่ากับ 28 ตารางนิ้ว D, E
   และ F เป็นจุดบนด้าน AB , BC และ CA ตามลำดับ และ AD = 3นิ้ว DB = 4
   นิ้ว ถ้า ΔABE และ □ DBEF มีพื้นที่เท่ากัน แล้วพื้นที่ ΔABE เท่ากับกี่ตารางนิ้ว
 

 ตอบ        =     
 
17) -  กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี มุมA - มุมB= 90º 
   และ BC + CA = 2AB ค่าของ cosC เท่ากับเท่าไร
 
ตอบ=    
 
 

18)

 -  ถ้า x เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ x+
   แล้วค่าของ  เท่ากับเท่าไร

 

ตอบ  =    
 
19)

   

- ถ้า f : I → I เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ f (−100) = 15,000
  และ f (n) = f (n +1)− 3n − 2 สำหรับทุกจำนวนเต็ม n
  แล้ว ค่าของ f (0) เท่ากับเท่าไร

ตอบ  =    
 
20) - กำหนดให้ x > 0 และ


เซตคำตอบของสมการคืออะไร


ตอบ  =    
 
21)

   

-        ให้ A = {x ∈ℝ│3x }  และ
             B = {x ∈ℝ││││=│x2-5x+4│}

             จำนวนสมาชิกของเซต A ∩ B เท่ากับเท่าใด

 

ตอบ  =    
 
22)

   

- กำหนดให้    เมื่อ x ≥ 0  ค่าต่ำสุดของ f (x) เกิดขึ้น

 เมื่อ x = ?

 

ตอบ  =    
 
23)

   

- O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมวงหนึ่งที่มีเส้นตรง  AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง

  ให้ C เป็นจุดบนวงกลมที่แตกต่างจากจุด A และจุด B  ให้ D เป็นจุดบนเส้น

  ตรง  AB โดยที่มุม CDB=90°   และ M เป็นจุดบนเส้นตรง BC โดยที่มุม
  BMO=90º   ถ้า     แล้วมุม ABC  กางกี่องศา

 

ตอบ  =    
 
24)

   

- ในรูปสามเหลี่ยม ABC ลากเส้นตรง CE และ AD โดยที่   
   และ      ให้     เมื่อ P เป็นจุดตัดของเส้นตรง CE และ AD
 
    ค่าของ r เท่ากับเท่าใด

ตอบ  =    
 
25)

   

- กำหนดให้     ค่าของ  มีค่าเท่าใด

 

ตอบ  =    
 
ให้ตรวจชุดที่ 2 ก่อน จำคะแนนไว้แล้วไปบวกกับชุดที่ 1 เป็นคะแนนที่คุณได้

@ @ @  

 

provided by JavaScriptKit.com  : modify  thai version by  www.mc41.com